Question

設p＞0是一常數(shù)，過點Q(2p，0)的直線與拋物線y²＝2px交于相異兩點A、B，以線段AB為直徑作圓H(H為圓心)．

試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：由題意，直線AB不能是水平線，故可設直線方程為：ky＝x－2p． 　　又設A(xA，yA)，B(xB，yB)，則其坐標滿足． 　　消去x得y2－2pky－4p2＝0 　　由此得 　　． 　　 　　因此·＝xAxB＋yAyB＝0，即OA⊥OB． 　　故O必在圓H的圓周上． 　　又由題意圓心H(xH，yH)是AB的中點，故 　　 　　由前已證，OH應是圓H的半徑，且|OH|＝＝ 　　從而當k＝0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最�。� 　　此時，直線AB的方程為：x＝2p． 　　解法二：由題意，直線AB不能是水平線，故可設直線方程為：ky＝x－2p 　　又設A(xA，yA)，B(xB，yB)， 　　則其坐標滿足 　　分別消去x，y得 　　故得A、B所在圓的方程： 　　x2＋y2－2p(k2＋2)x－2pky＝0． 　　明顯地，O(0，0)滿足上面方程所表示的圓上， 　　又知A、B中點H的坐標為(，)＝((2＋k2)p，kp)， 　　故|OH|＝ 　　而前面圓的方程可表示為[x－(2＋k2)p]2＋(y－pk)2＝(2＋k2)2p2＋k2p2 　　故|OH|為上面圓的半徑R，從而以AB為直徑的圓必過點O(0，0)． 　　又R2＝|OH|2＝(k4＋5k2＋4)p2， 　　故當k＝0時，R2最小，從而圓的面積最小，此時直線AB的方程為：x＝2p． 　　解法三：同解法一得O必在圓H的圓周上 　　又直徑|AB|＝ 　　　　　　　＝ 　　　　　　�。� 　　　　　　　≥＝4p． 　　上式當xA＝xB時，等號成立，直徑|AB|最小，從而圓面積最小． 　　此時直線AB的方程為x＝2p．