Question

設(shè)a＞0，f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）解方程f（x）=2．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，滿足f（-x）=f（x），可構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程可得滿足條件的a值；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可，
（3）構(gòu)造方程，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）恒成立，
即

e-x

a

+

a

e-x

=）=

ex

a

+

a

ex

恒成立，
整理，得（a²-1）（e^2x-1）=0對任意實數(shù)x恒成立，
故a²-1=0，又∵a＞0，
∴a=1，
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（e^x1-e^x2）+（

1

ex1

-

1

ex2

）=（e^x2-e^x1）（

1

ex1+x2

-1），
∵函數(shù)y=e^x為增函數(shù)，y=e^-x為減函數(shù)，
∴e^x2-e^x1＞0，

1

ex1+x2

-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
（3）由方程f（x）=2，
得e^x+

1

ex

=2，
即e^2x-2e^x+1=0，
∴e^x=1=e⁰，
∴x=0，
故方程的根為x=0．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．