Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^x[2ax²-（1+4a）x+4a+2]，其中a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性并求出其單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出切線上的點(diǎn)（1，f（1））和切線的斜率f′（1），帶入直線的點(diǎn)斜式方程即可；
（2）求出f′（x），根據(jù)a的取值討論f′（x）的符號即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^x（2x²-5x+6），
f′（x）=e^x（2x²-5x+6）+（4x-5）e^x=e^x（2x²-x+1）．
∴f′（1）=2e，f（1）=3e．
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為
y-3e=2e（x-1），即2ex-y+e=0．
（2）f（x）=e^x[2ax²-（1+4a）x+4a+2]，
∴f′（x）=e^x[2ax²-（1+4a）x+4a+2]+（4ax-4a-1）e^x=e^x（2ax²-x+1）．
令f′（x）=0得2ax²-x+1=0．
①若a=0，則x=1，
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0．
②若a≠0，△=1-8a
∴當(dāng)1-8a≤0即a≥$\frac{1}{8}$時(shí)，f′（x）≥0，
當(dāng)1-8a＞0即a＜$\frac{1}{8}$時(shí)，f′（x）=0的解為x₁=$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$．
∴當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{8}$，x₁＜x₂，當(dāng)a＜0時(shí)，x₁＞x₂．
∴若0＜a＜$\frac{1}{8}$，當(dāng)x＜$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$或x＞$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$時(shí)，f′（x）＜0；
若a＜0，當(dāng)x＜$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$或x＞$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$＜x＜$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$時(shí)，f′（x）＞0．
綜上所述：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在（-∞，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)a≥$\frac{1}{8}$時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{8}$時(shí)，f（x）在（-∞，$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$）上是增函數(shù)，在（$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$，$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$）上是減函數(shù)，在（$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$）上是減函數(shù)，在（$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$，$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$）上是增函數(shù)，在（$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考察了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論思想．