Question

16．已知函數(shù)f（x）=x，g（x）=lnx．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的極值；
（2）若?a∈（0，+∞），使得函數(shù)y=af（x）-g（x）在（0，e]上的最小值是3（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），試求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極值；
（2）求出函數(shù)m（x）的導(dǎo)數(shù)，對a討論，分a＞$\frac{1}{e}$，0＜a≤$\frac{1}{e}$，判斷函數(shù)m（x）的單調(diào)性，求得最小值，解方程即可得到a．

解答 解：（1）函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=x-lnx的導(dǎo)數(shù)為
h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）遞增；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（0，1））遞減．
即有h（x）在x=1處取得極小值，且為1，
無極大值；
（2）令函數(shù)m（x）=af（x）-g（x）=ax-lnx，
m′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
當(dāng)$\frac{1}{a}$＜e即a＞$\frac{1}{e}$，即有m（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，e）遞增，
則m（x）在x=$\frac{1}{a}$處取得極小值，也為最小值，且為1+lna，
由題意可得1+lna=3，解得a=e²；
當(dāng)$\frac{1}{a}$≥e即0＜a≤$\frac{1}{e}$時(shí)，m′（x）＜0，m（x）在（0，e]上遞減，
即有x=e處m（x）取得最小值，且為ae-1，
由題意可得，ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$，
與0＜a≤$\frac{1}{e}$矛盾，舍去．
故a的值為e²．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值和最值，主要考查求最值的方法和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．