Question

在2008年北京奧運會某項目的選拔比賽中，A、B兩個代表隊進行對抗賽，每隊三名隊員，A隊隊員是A₁、A₂、A₃，B隊隊員是B₁、B₂、B₃，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下表，現(xiàn)按表中對陣方式出場進行三場比賽，每場勝隊得1分，負隊得0分，設A隊、B隊最后所得總分分別為ξ、η，且ξ+η=3．

對陣隊員	A隊隊員勝	A隊隊員負
A1對B1	2 3	1 3
A2對B2	2 5	3 5
A3對B3	3 7	4 7

（Ⅰ）求A隊得分為1分的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列；并用統(tǒng)計學的知識說明哪個隊實力較強．

Answer 1

分析：（1）A隊得分為1分包括第一個隊員勝且后兩個負，第二個隊員勝且一三兩個隊員負，第三個隊員勝且一二兩個負，相互獨立事件同時發(fā)生的概率．
（2）看出隨機變量的可能的取值，求出各個取值對應的概率，得到分布列，求出期望，比較兩個期望的大小，得到結論．

解答：解：（Ⅰ）設A隊得分為（1分）的事件為A₀，
∴P(A0)=

2

3

×

3

5

×

4

7

+

1

3

×

2

5

×

4

7

+

1

3

×

3

5

×

3

7

=

41

105

．
（Ⅱ）ξ的可能取值為3，2，1，0；P(ξ=3)=P(A0)=

2

3

×

2

5

×

3

7

=

12

105

，P(ξ=2)=

2

3

×

2

5

×

4

7

+

1

3

×

2

5

×

3

7

+

2

3

×

3

5

×

3

7

=

40

105

P(ξ=1)=

2

3

×

3

5

×

4

7

+

1

3

×

2

5

×

4

7

+

1

3

×

3

5

×

3

7

=

41

105

，
P(ξ=0)=

1

3

×

3

5

×

4

7

=

12

105

，
∴ξ的分布列為：

于是Eξ=0×

12

105

+1×

41

105

+2×

40

105

+3×

12

105

=

157

105

，
∵ξ+η=3，
∴Eη=-Eξ+3=

158

105

．
由于Eη＞Eξ，故B隊比A隊實力較強．

點評：本題主要考查的是隨機變量的分布列和數(shù)學期望問題．這是概率與統(tǒng)計大題考查的主陣地，預計還有可能與函數(shù)、導數(shù)、方程、數(shù)列以及不等式等知識綜合考查．