Question

9．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=sinφ\end{array}$（φ為參數），曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=bsinφ\end{array}$（a＞b＞0，φ為參數），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ=α與C₁，C₂各有一個交點，當α=0時，這兩個交點間的距離為2，當α=$\frac{π}{2}$時，這兩個交點重合．
（Ⅰ）分別說明C₁，C₂是什么曲線，并求a與b的值；
（Ⅱ）設當α=$\frac{π}{4}$時，l與C₁，C₂的交點分別為A₁，B₁，當α=-$\frac{π}{4}$時，l與C₁，C₂的交點分別為A₂，B₂，求直線A₁ A₂、B₁B₂的極坐標方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 曲線C₁的直角坐標方程為x²+y²=1，C₁是以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓，曲線C₂的直角坐標方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，C₂是焦點在x軸上的橢圓．當α=0時，射線l與C₁，C₂交點的直角坐標分別為（1，0），（a，0），當$α=\frac{π}{2}$時，射線l與C₁，C₂交點的直角坐標分別為（0，1），（0，b），由此能求出a，b．
（Ⅱ） C₁，C₂的普通方程分別為x²+y²=1和$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$，當$α=\frac{π}{4}$時，射線l與C₁的交點A₁的橫坐標為$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，與C₂的交點B₁的橫坐標為$x'=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，當$α=-\frac{π}{4}$時，射線l與C₁，C₂的交點A₂，分別與A₁，B₁關于x軸對稱，由此能求出直線A₁ A₂ 和B₁B₂的極坐標方程．

解答 （本題滿分10分）【選修4-4  坐標系統(tǒng)與參數方程】
解：（Ⅰ）∵曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=sinφ\end{array}$（φ為參數），
∴曲線C₁的直角坐標方程為x²+y²=1，∴C₁是以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓，
∵曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=bsinφ\end{array}$（a＞b＞0，φ為參數），
∴曲線C₂的直角坐標方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，∴C₂是焦點在x軸上的橢圓．
當α=0時，射線l與C₁，C₂交點的直角坐標分別為（1，0），（a，0），
∵這兩點間的距離為2，∴a=3…（2分）
當$α=\frac{π}{2}$時，射線l與C₁，C₂交點的直角坐標分別為（0，1），（0，b），
∵這兩點重合，∴b=1…（5分）
（Ⅱ） C₁，C₂的普通方程分別為x²+y²=1和$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$…（6分）
當$α=\frac{π}{4}$時，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得A₁（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），即射線l與C₁的交點A₁的橫坐標為$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得B₁（$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\frac{3\sqrt{10}}{10}$），與C₂的交點B₁的橫坐標為$x'=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
當$α=-\frac{π}{4}$時，射線l與C₁，C₂的交點A₂，分別與A₁，B₁關于x軸對稱
因此，直線A₁ A₂、B₁B₂垂直于極軸，
故直線A₁ A₂ 和B₁B₂的極坐標方程分別為$ρcosθ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$ρcosθ=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$…（10分）

點評 本題考查圖形的判斷與實數值的求法，考查極坐標方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意參數方程、直角坐標方程、極坐標方程間相互轉化公式的合理運用．