Question

19．已知函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對(duì)稱，且當(dāng)（-∞，0）時(shí)，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），若a=（3^0.3）•f（3^0.3），$b=（{log_9}3）•f（{log_9}3），c=（{log_3}\frac{1}{9}）•f（{log_3}\frac{1}{9}）$，則a、b、c的大小關(guān)系是（　�。�

• A． a＞b＞c
• B． c＞a＞b
• C． c＞b＞a
• D． a＞c＞b

Answer 1

分析 函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對(duì)稱，可得函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．令g（x）=xf（x），則函數(shù)g（x）是偶函數(shù)．
g′（x）=f（x）+xf′（x），可得函數(shù)g（x）=xf（x），在x∈（-∞，0）時(shí)單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)g（x）=xf（x），在x∈（0，+∞）時(shí)單調(diào)遞增．
即可得出．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對(duì)稱，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
令g（x）=xf（x），則函數(shù)g（x）是偶函數(shù)．
g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵當(dāng)（-∞，0）時(shí)，f（x）+xf′（x）＜0成立，
∴g′（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）=xf（x），在x∈（-∞，0）時(shí)單調(diào)遞減，
由偶函數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)g（x）=xf（x），在x∈（0，+∞）時(shí)單調(diào)遞增．
∵a=（3^0.3）•f（3^0.3），$b=（{log_9}3）•f（{log_9}3），c=（{log_3}\frac{1}{9}）•f（{log_3}\frac{1}{9}）$=-2f（-2）=2f（2），
∵2＞3^0.3＞1＞log₉3=$\frac{1}{2}$，
則a、b、c的大小關(guān)系是a＞c＞b．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．