Question

【題目】已知.

（Ⅰ）若曲線與軸有唯一公共點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅱ）若不等式對任意的恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）由題意，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求導(dǎo)，分類討論得到函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)的存在定理，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）由題意，可得，構(gòu)造新函數(shù)，則對任意的恒成立，分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>..

由題意，函數(shù)有唯一零點(diǎn)..

（1）若，則.

顯然恒成立，所以在上是增函數(shù).

又，所以符合題意.

（2）若，.

；.

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

所以 .

由題意，必有（若，則恒成立，無零點(diǎn)，不符合題意）.

①若，則.

令，則 .

；.

所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.

所以，，且.

取正數(shù)，則 ；

取正數(shù)，顯然.而，

令，則.當(dāng)時，顯然.

所以在上是減函數(shù).

所以，當(dāng)時，，所以.

因?yàn)?/span>，所以 .

又在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

則由零點(diǎn)存在性定理，在、上各有一個零點(diǎn).

可見，，或不符合題意.

注：時，若利用，，，說明在、上各有一個零點(diǎn).

②若，顯然，即.符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（Ⅱ） .

令，則對任意的恒成立.

（1）當(dāng)時，.

當(dāng)時，，所以在上是減函數(shù).

所以，當(dāng)時，.可見，符合題意.

（2）若，顯然在上是減函數(shù).

取實(shí)數(shù)，顯然.

則 （利用）

.

又，在上是減函數(shù)，

由零點(diǎn)存在定點(diǎn)，存在唯一的使得.

于是，當(dāng)時，，函數(shù)在上是增函數(shù).

所以，當(dāng)時，.可見，不符合題意.

當(dāng)時，分如下三種解法：

解法一：（3）若，，.

令，顯然在上是減函數(shù)，

所以，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.

所以，當(dāng)時，，在上是減函數(shù).

所以，當(dāng)時，.

所以，在上是減函數(shù).

所以，當(dāng)時，.可見，符合題意.

（4）若，，.

令，顯然在上是減函數(shù)，且，

，

所以，存在唯一的，使得，即.

于是，當(dāng)時，；當(dāng)時，.

所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，.

所以，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

所以，在上的最大值 .

將式代入上式，得 .

所以，當(dāng)時，，所以在上是減函數(shù).

所以，當(dāng)時，.可見，符合題意.

綜上，所求的取值范圍是.

解法二：（3）若，對任意的恒成立對任意的恒成立.

令，.

，當(dāng)時， ，

所以在上是增函數(shù).所以.

顯然在上是減函數(shù)，.

所以，當(dāng)時，