Question

6．已知橢圓C的中心O為坐標原點，右焦點為F（1，0），A、B分別是橢圓C的左右頂點，P是橢圓C上的動點．
（Ⅰ）若△PAB面積的最大值為$\sqrt{2}$，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過右焦點F做長軸AB的垂線，交橢圓C于M、N兩點，若|MN|=3，求橢圓C的離心率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意設橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），由已知可得a²-b²=1，$\frac{1}{2}（2a）b=\sqrt{2}$，聯(lián)立求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）由題意設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），利用橢圓的通徑長結合a²-b²=1求得a，b的值，再由隱含條件求出c，則橢圓的離心率可求．

解答 解：（Ⅰ）由題意設橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
則有a²-b²=1，$\frac{1}{2}（2a）b=\sqrt{2}$，
解得$a=\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由題意設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
則有$\frac{2^{2}}{a}=3$，又a²-b²=1，∴2a²-3a-2=0，
解得：a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍）．
∴b²=a²-1=3，c²=a²-b²=4-3=1，則c=1．
∴橢圓C的離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了橢圓方程的求法，是中檔題．