Question

（2012•東城區(qū)二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點F₁（-1，0），長軸長與短軸長的比是2：

3

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過F₁作兩直線m，n交橢圓于A，B，C，D四點，若m⊥n，求證：

1

|AB|

+

1

|CD|

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由長軸長與短軸長的比是2：

3

，c=1，結(jié)合a²=b²+c²求出a²，b²，則橢圓的方程可求；
（Ⅱ）分直線m的斜率存在且不等于0和斜率不存在兩種情況討論，斜率不存在時直接與橢圓方程聯(lián)立求線段的長，斜率存在且不等于0時射出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用弦長公式，借助于根與系數(shù)關(guān)系求證．

解答：（Ⅰ）解：由已知得

2a：2b=2： 3 c=1 a2=b2+c2

解得：a=2，b=

3

．
故所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知F₁（-1，0），當直線m斜率存在時，設(shè)直線m的方程為：y=k（x+1）（k≠0）．
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
由于△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[(- 8k2 3+4k2 )2-4× 4k2-12 3+4k2 ]

=

12(1+k2)

3+4k2

．
同理|CD|=

12(1+k2)

3k2+4

．
所以

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3+4k2

12(1+k2)

+

3k2+4

12(1+k2)

=

7(1+k2)

12(1+k2)

=

7

12

．
當直線m斜率不存在時，此時|AB|=3，|CD|=4，

1

|AB|

+

1

|CD|

=

1

3

+

1

4

=

7

12

．
綜上，

1

|AB|

+

1

|CD|

為定值

7

12

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，訓(xùn)練了弦長公式的應(yīng)用，考查了計算能力，屬壓軸題．