Question

已知：a+b=a+b，（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，求：
（1）（a+b）⁴的值；
（2）結合著名的楊輝三角，你能得出多少有（a+b）ⁿ展開式系數的結論．

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：（1）直接利用二項式定理求得（a+b）⁴的值．
（2）根據組合數的性質、結合楊輝三角可得（a+b）ⁿ展開式系數的結論．

解答： 解：（1）（a+b）⁴ =

C

0 4

•a⁴+

C

1 4

•a³b+

C

2 4

•a²•b²+

C

3 4

a•b³+

C

4 4

•b⁴=a⁴+4a³b+6a²•b²+4ab³+b⁴．
（2）結合著名的楊輝三角，可得（a+b）ⁿ的展開式系數的結論：
①系數具有對稱性，即與首末兩端“等距”的兩項的二項式系數相等，

C

r n

=

C

n-r n

；
②中間項的二項式系數最大．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于基礎題．