Question

等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=23，公差d為整數(shù)，且第6項(xiàng)為正數(shù)，從第7項(xiàng)起為負(fù)數(shù)．
（1）求此數(shù)列的公差d；
（2）設(shè)前n項(xiàng)和為S_n，指出S₁，S₂，…S_n中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)前n項(xiàng)和S_n是正數(shù)時(shí)，求n的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出a₆＞0，a₇＜0，求出d的值；
（2）根據(jù)d＜0判斷{a_n}是遞減數(shù)列，再由a₆＞0，a₇＜0，得出n=6時(shí)，S_n取得最大值；
（3）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出不等式，解不等式即可．

解答：解：（1）由

a6＞0 a7＜0

得

23+5d＞0 23+6d＜0

?-

23

5

＜d＜-

23

6

∵d∈Z∴d=-4
（2）設(shè)前n項(xiàng)和為S_n，指出S₁，S₂，…S_n中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由．Sn=23n+

n(n-1)

2

•(-4)=-2n2+25n=-2(n-

25

4

)2+

625

16

∴n=6時(shí)，S₆最大
（3）當(dāng)前n項(xiàng)和S_n是正數(shù)時(shí)，求n的最大值．
Sn=23n+

n(n-1)

2

•(-4)=-2n2+25n＞0∴0＜n＜12.5
∴n的最大值為12

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)．（2）問(wèn)d＜0判斷{a_n}是遞減數(shù)列，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．