Question

某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設(shè)施．該設(shè)施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點E為AB的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿．
（1）設(shè)MN與AB之間的距離為x米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關(guān)于x的函數(shù)；
（2）求△EMN的面積S（平方米）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分類求出MN在矩形區(qū)域、三角形區(qū)域滑動時，△EMN的面積，可得分段函數(shù)；
（2）分類求出△EMN的面積的最值，比較其大小，即可得到最值．
解答：解：（1）①如圖1所示，當MN在矩形區(qū)域滑動，即0＜x≤1時，△EMN的面積S==x；（1分）
②如圖2所示，當MN在三角形區(qū)域滑動，即1＜x＜時，連接EG，交CD于點F，交MN于點H，
∵E為AB中點，
∴F為CD中點，GF⊥CD，且FG=．
又∵MN∥CD，∴△MNG∽△DCG．
∴，即．（4分）
故△EMN的面積S==； （6分）
綜合可得：（7分）
（2）①當MN在矩形區(qū)域滑動時，S=x，所以有0＜S≤1；（8分）
②當MN在三角形區(qū)域滑動時，S=．
因而，當（米）時，S得到最大值，最大值S=（平方米）．
∵，
∴S有最大值，最大值為平方米．（12分）
點評：本題考查函數(shù)模型的建立，考查函數(shù)的最值，考查學生分析解決問題的能力，確定分段函數(shù)是關(guān)鍵．