Question

（04年湖北卷理）（12分）

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱

CD上的動(dòng)點(diǎn).

（I）試確定點(diǎn)F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；

（II）當(dāng)D­₁E⊥平面AB₁F時(shí)，求二面角C₁―EF―A的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

 

Answer 1

解析：解法一：（I）連結(jié)A₁B，則A₁B是D₁E在面ABB₁A；內(nèi)的射影

    ∵AB₁⊥A₁B，∴D₁E⊥AB₁，

       于是D₁E⊥平面AB₁FD₁E⊥AF.

       連結(jié)DE，則DE是D₁E在底面ABCD內(nèi)的射影.

       ∴D₁E⊥AFDE⊥AF.

       ∵ABCD是正方形，E是BC的中點(diǎn).

       ∴當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，DE⊥AF，

       即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D₁E⊥平面AB₁F.…………6分

（II）當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時(shí)，由（I）知點(diǎn)F是CD的中點(diǎn).

       又已知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF，則EF∥BD. 連結(jié)AC，

       設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H，則CH⊥EF，連結(jié)C₁H，則CH是

       C₁H在底面ABCD內(nèi)的射影.

       C₁H⊥EF，即∠C₁HC是二面角C₁―EF―C的平面角.

       在Rt△C₁CH中，∵C₁C=1，CH=AC=，

       ∴tan∠C₁HC=.

       ∴∠C₁HC=arctan，從而∠AHC₁=.

       故二面角C₁―EF―A的大小為.

       解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（1）設(shè)DF=x，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），

       A₁（0，0，1），B（1，0，1），D₁（0，1，1），E，F(xiàn)（x，1，0）

      

       （1）當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時(shí)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，又E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF，則EF∥BD. 連結(jié)AC，設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H，則AH⊥EF. 連結(jié)C₁H，則CH是C₁H在底面ABCD內(nèi)的射影.

       ∴C₁H⊥EF，即∠AHC₁是二面角C₁―EF―A的平面角.