Question

（2012•房山區(qū)一模）設f（x）是定義在R上不為零的函數，對任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=

1

2

，an=f(n)(n∈N*)，則數列{a_n}的前n項和的取值范圍是

[

1

2

，1)

．

Answer 1

分析：依題意分別求出f（2），f（3），f（4）進而發(fā)現數列{a_n}是以

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數列，進而可求得S_n的取值范圍．

解答：解：由題意可得，f（2）=f²（1），f（3）=f（1）f（2）=f³（1），
f（4）=f（1）f（3）=f⁴（1），a₁=f（1）=

1

2

∴f（n）=(

1

2

)n
∴Sn=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

∈[

1

2

，1）．
故答案：[

1

2

，1）

點評：本題主要考查了等比數列的求和問題，解題的關鍵是根據已知條件確定出等比數列的首項及公比