某市旅游部門開發(fā)一種旅游紀念品,每件產(chǎn)品的成本是15元,銷售價是20元,月平均銷售2000件.通過改進工藝,產(chǎn)品的成本不變,質(zhì)量和技術的含金量提高,市場分析的結(jié)果表明,如果產(chǎn)品的銷售價提高的百分率為x(0<x<1),那么月平均銷售量減少的百分率為x2.設改進工藝后,旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤是y(元).
(1)當銷售價提高的百分率為0.1時,月利潤是多少?
(2)寫出y與x的函數(shù)關系式;
(3)改進工藝后,確定該紀念品的售價,使旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.
【答案】分析:(1)由已知中如果產(chǎn)品的銷售價提高的百分率為x(0<x<1),那么月平均銷售量減少的百分率為x2.可得銷售價提高的百分率為0.1時月平均銷售量,結(jié)合每件產(chǎn)品的利潤可得答案.
(2)由已知中如果產(chǎn)品的銷售價提高的百分率為x(0<x<1),那么月平均銷售量減少的百分率為x2.計算出改進工藝后,每件產(chǎn)品的銷售價為20(1+x),月平均銷售量為2000(1-x2),整理可得y與x的函數(shù)關系式;
(3)根據(jù)(2)的解析式,利用結(jié)合x的取值范圍,利用導數(shù)法易得月平均利潤最大值.
解答:解:(1)當銷售價提高的百分率為0.1時,銷售價是22元
月平均銷售量減少的百分率為0.01,
月平均銷售量為2000(1-0.01)(元)                 …(1分)
月利潤是:2000(1-0.01)(22-15)=13860元     …(2分)
(2)改進工藝后,每件產(chǎn)品的銷售價為20(1+x),月平均銷售量為2000(1-x2
件,則月平均利潤2000(1-x2)[20(1+x)-15](元),
∴y與x的函數(shù)關系式為:y=2000(1-x2)[20(1+x)-15](0<x<1),y=10000(-4x3-x2+4x+1)…(4分)
(3)由y'=10000(4-2x-12x2)=0,得(舍),
時y'>0;時y'<0,∴函數(shù)在取得最大值.
故改進工藝后,產(chǎn)品的銷售價為=30元時,旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.…(8分)
點評:本題考查的知識點是函數(shù)模型的選擇與應用,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值工,其中根據(jù)已知條件確定函數(shù)的解析式是解答本題的關鍵.
練習冊系列答案
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某市旅游部門開發(fā)一種旅游紀念品,每件產(chǎn)品的成本是15元,銷售價是20元,月平均銷售a件,通過改進工藝,產(chǎn)品的成本不變,質(zhì)量和技術含金量提高,市場分析的結(jié)果表明,如果產(chǎn)品的銷售價提高的百分率為x(0<x<1),那么月平均銷售量減少的百分率為x2.記改進工藝后,旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤是y(元).
(Ⅰ)寫出y與x的函數(shù)關系式;
(Ⅱ)改進工藝后,確定該紀念品的售價,使旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.

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(1)當銷售價提高的百分率為0.1時,月利潤是多少?
(2)寫出y與x的函數(shù)關系式;
(3)改進工藝后,確定該紀念品的售價,使旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.

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(Ⅰ)寫出的函數(shù)關系式;

(Ⅱ)改進工藝后,確定該紀念品的售價,使旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.

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