Question

已知橢圓

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1（a₁＞0，b₁＞0）的長軸長、短軸長、焦距長成等比數(shù)列，離心率為e₁；雙曲線

x2

a 2 2

-

y2

b 2 2

=1（a₂＞0，b₂＞0）的實軸長、虛軸長、焦距長也成等比數(shù)列，離心率為e₂．則e₁e₂=

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出橢圓的焦距、短軸長、長軸長，通過等比數(shù)列建立b₁²=a₁•c₁，求出橢圓的離心率；根據(jù)雙曲線實軸的長度、虛軸的長度和焦距成等比數(shù)列，b₂²=a₂c₂，從而可求雙曲線的離心率，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)出橢圓的焦距、短軸長、長軸長分別為2c₁，2b₁，2a₁，
∵橢圓的長軸長、短軸長、焦距長成等比數(shù)列，
∴2a₁，2b₁，2c₁成等比數(shù)列，
∴4b₁²=2a₁•2c₁，∴b₁²=a₁•c₁，
∴b₁²=a₁²-c₁²=a₁•c₁，
兩邊同除以a₁²得：e₁²+e₁-1=0，
解得，e₁=

5 -1

2

，
雙曲線實軸的長度、虛軸的長度和焦距成等比數(shù)列，
∴b₂²=a₂c₂，
∴c₂²-a₂²=a₂c₂，
∴e₂²-e₂-1=0，
∵e₂＞1，
∴e₂=

5 +1

2

，
∴e₁e₂=1
故答案為：1．

點評：本題考查橢圓、雙曲線的離心率，等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．