Question

已知函數(shù)f(x)=1+

1

x-1

，g(x)=f(2|x|)．
（1）判斷函數(shù)f（x）和g（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）證明函數(shù)g（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)；
（3）若關(guān)于x關(guān)于的不等式g(x)＜

m

m+1

在x∈（1，+∞）時(shí)恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠1}，
∴函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)，
又∵g(x)=f(2|x|)=1+

1

2|x|-1

，
∴函數(shù)g（x）的定義域{x|x∈R且x≠0}，
且g(-x)=1+

1

2|-x|-1

=1+

1

2|x|-1

=g(x)，
所以g（x）為偶函數(shù)．
（2）設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
g(x1)-g(x2)=

1

2|x1|-1

-

1

2|x2|-1

=

2|x2|-2|x1|

(2|x1|-1)(2|x2|-1)

，
∵x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
∴|x₁|＞|x₂|＞0
∴2|x1|＞2|x2|，2|x2|-2|x1|＜0，2|x1|-1＞0，2|x2|-1＞0
所以g（x₁）＜g（x₂），所以函數(shù)g&n的sp;（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)．
（3）由（1）（2），知函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）＜g（1）=2，
∵不等式g(x)＜

m

m+1

在x∈（1，+∞）時(shí)恒成立，
∴

m

m+1

≥2，解口-2≤m＜-1．
所以m的取值范圍是{m|-2≤m＜-1}．