Question

函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

與x=1時都取得極值
（1）求a，b的值；
（2）函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=-

2

3

和x=1代入求出a、b即可；
（2）求出f′（x），分別令f′（x）＜0，f′（x）＞0，求出x的范圍，即可得到函數f（x）的單調區(qū)間．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由題意：

f‘(- 2 3 ) =0 f’(1)=0

即

3×(- 2 3 )2- 4 3 a+b=0  3+2a+b=0

解得

a=- 1 2 b=-2

（2）由（1）可知f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c  
∴f′（x）=3x²-x-2
令f′（x）＜0，解得-

2

3

＜x＜1；
令f′（x）＞0，解得x＜-

2

3

或x＞1，
∴f（x）的減區(qū)間為（-

2

3

，1）；增區(qū)間為（-∞，-

2

3

），（1，+∞）．

點評：考查學生利用導數求函數極值的能力，利用導數研究函數單調性的能力，以及掌握不等式的解法．