Question

9．記橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{{n{y^2}}}{4n+1}$=1圍成的區(qū)域（含邊界）為Ω_n（n=1，2，3…），當(dāng)點(diǎn)（x，y）分別在Ω₁，Ω₂，…上時(shí)，x+y的最大值分別是M₁，M₂，…，則$\lim_{n→+∞}{M_n}$=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程，x+y=2cosθ+$\sqrt{4+\frac{1}{n}}$sinθ=$\sqrt{{2}^{2}+4+\frac{1}{n}}$sin（θ+φ），根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：（x+y）_max=$\sqrt{{2}^{2}+4+\frac{1}{n}}$=$\sqrt{8+\frac{1}{n}}$．$\underset{lim}{n→∞}$M_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\sqrt{8+\frac{1}{n}}$=2$\sqrt{2}$．

解答 解：把橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{{n{y^2}}}{4n+1}$=1得，
橢圓的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{4+\frac{1}{n}}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴x+y=2cosθ+$\sqrt{4+\frac{1}{n}}$sinθ=$\sqrt{{2}^{2}+4+\frac{1}{n}}$sin（θ+φ），
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)，x+y取最大值，
∴（x+y）_max=$\sqrt{{2}^{2}+4+\frac{1}{n}}$=$\sqrt{8+\frac{1}{n}}$．
∴$\underset{lim}{n→∞}$M_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\sqrt{8+\frac{1}{n}}$=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程，考查輔助角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的最值，考查數(shù)列極限的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，技巧性強(qiáng)，要求學(xué)生對(duì)高中所學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于難題．