Question

已知集合M是滿(mǎn)足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域內(nèi)存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函數(shù)f（x）=

1

x

是否屬于集合M？說(shuō)明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=2^x+x²，證明：f（x）∈M．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,元素與集合關(guān)系的判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）集合M中元素的性質(zhì)，即有f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，代入函數(shù)解析式列出方程，進(jìn)行求解，若無(wú)解則此函數(shù)不是M的元素，若有解則此函數(shù)是M的元素；
（2）根據(jù)定義只要證明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性判定理進(jìn)行判斷．

解答： 解：（1）f（x）=

1

x

的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
令

1

x+1

=

1

x

+1，整理得x²+x+1=0，
∵△=-3＜0，
∴x²+x+1=0無(wú)解，
因此，不存在x∈（-∞，0）∪（0，+∞），使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立，
∴f（x）=

1

x

∉M
（2）∵函數(shù)f（x）=2^x+x²∈M，要證f（x）∈M，
∴f（x+1）=f（x）+f（1）有解，
∴2^x+1+（x+1）²=2^x+x²+3有解，即2^x+2x-2=0有解，
設(shè)h（x）=2^x+2x-2，∵h(yuǎn)（0）=-1，h（1）=2，
根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性判定理得，存在x₀∈（0，1），h（x₀）=0，
即f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，
∴f（x）∈M．

點(diǎn)評(píng)：本題題意新穎，主要利用新定義進(jìn)行運(yùn)算，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)存在性判定理的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)、考查了邏輯思維能力和分析、解決問(wèn)題的能力．