Question

已知直線x-2y+2=0經過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AB，BS與直線l：x=

10

3

分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN的長度的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知得，橢圓C的左頂點為A（-2，0），上頂點為D（0，1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設直線AS的方程為y=k（x+2），從而M(

10

3

，

16

3

k)．由題設條件可以求出N(

10

3

，-

1

3k

)，所以|MN|=|

16k

3

+

1

3k

|，
再由均值不等式進行求解．

解答：解：（1）由已知得，橢圓C的左頂點為A（-2，0），上頂點為D（0，1），
∴a=2，b=1，
故橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）直線AS的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設直線AS的方程為y=k（x+2），從而M(

10

3

，

16

3

k)．
由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
設S（x₁，y₁），則(-2)•x1=

16k2-4

1+4k2

得x1=

2-8k2

1+4k2

，從而y1=

4k

1+4k2

．
即S(

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

)，又B（2，0）
由

y=- 1 4k (x-2) x= 10 3

得

x= 10 3 y=- 1 3k

，∴N(

10

3

，-

1

3k

)，
故|MN|=|

16k

3

+

1

3k

|，
又k＞0，∴|MN|=

16

3

k+

1

3k

≥2

16k 3 • 1 3k

=

8

3

．當且僅當

16k

3

=

1

3k

，即k=

1

4

時等號成立
∴k=

1

4

時，線段MN的長度取最小值

8

3

．

點評：本題考查橢圓與直線的位置關系，解題時要注意公式的靈活運用．