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（I）試證明柯西不等式：

（II）已知，且，求的最小值．

 

【答案】

（1）對于不等式的證明可以運用綜合法也可以運用分析法來得到。也可以運用作差法加以證明。

（2）根據題意，由于，那么結合均值不等式來求解最值。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：左邊=,

右邊=,

左邊右邊 ,        2分

左邊右邊, 命題得證.        3分

（Ⅱ）令，則,

,     ,

,           4分

由柯西不等式得：,           5分

當且僅當，即，或時     6分

的最小值是1 .           7分

解法2：, ,

,   4分

，     5分

當且僅當，或時   6分

的最小值是1.     7分

考點：不等式的證明與求解最值

點評：主要是考查了不等式的證明，以及均值不等式求解最值的運用，屬于中檔題。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•廈門模擬）本小題設有（1）（2）（3）三個選考題，每題7分，請考生任選兩題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知e1=
1
1
是矩陣M=
a
 1
0
 b
屬于特征值λ1=2的一個特征向量．
（I）求矩陣M；
（Ⅱ）若a=
2
1
，求M10a．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，A（l，0），B（2，0）是兩個定點，曲線C的參數方程為
AB
為參數）．
（I）將曲線C的參數方程化為普通方程；
（Ⅱ）以A（l，0為極點，|
AB
|為長度單位，射線AB為極軸建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程．
（3）選修4-5：不等式選講
（I）試證明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（a，b，x，y∈R）；
（Ⅱ）若x2+y2=2，且|x|≠|y|，求
1
(x+y
)
2
 
+
1
(x-y
)
2
 
的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：044

證明柯西不等式的推論：設a1 ，a2 ，… a n為正實數

則：

 

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科目：高中數學 來源：數學教研室 題型：044

證明柯西不等式的推論：設a1 ，a2 ，… a n為正實數

則：

 

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科目：高中數學 來源：2012年福建省廈門市高三5月適應性考試數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

本小題設有（1）（2）（3）三個選考題，每題7分，請考生任選兩題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知是矩陣屬于特征值λ1=2的一個特征向量．
（I）求矩陣M；
（Ⅱ）若，求M10a．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，A（l，0），B（2，0）是兩個定點，曲線C的參數方程為為參數）．
（I）將曲線C的參數方程化為普通方程；
（Ⅱ）以A（l，0為極點，||為長度單位，射線AB為極軸建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程．
（3）選修4-5：不等式選講
（I）試證明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（a，b，x，y∈R）；
（Ⅱ）若x2+y2=2，且|x|≠|y|，求的最小值．

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