Question

已知圓C的極坐標(biāo)方程是ρ²+2ρ（cosθ+

3

sinθ）-5=0，直線l的參數(shù)方程

x=1+ 3 2 t y=- 3 + 1 2 t

，t為參數(shù)．
（1）求直線m：θ=

π

3

（ρ∈R）被圓截得的弦長(zhǎng)．
（2）已知P（1，-

3

），若圓C與直線l交于兩點(diǎn)A，B求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）先根據(jù)ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y求出圓C的普通方程，然后求出圓的圓心、半徑，再求出直線m的方程，判斷出它過(guò)圓心，再求出截得的弦長(zhǎng)；
（2）把直線的參數(shù)方程代入圓C的普通方程得，t2+2

3

t-5=0，利用韋達(dá)定理表示出兩根之積t₁t₂=-5，再由|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|，求得結(jié)果．

解答： 解：（1）由題意得，C的極坐標(biāo)方程是ρ²+2ρ（cosθ+

3

sinθ）-5=0，
∴則圓C直角坐標(biāo)方程為x²+y²+2x+2

3

y-5=0，
即（x+1）²+（y+

3

）²=9，
表示以C（-1，-

3

）為圓心、以3為半徑的圓，
當(dāng)θ=

π

3

（ρ∈R）時(shí)，則直線m：y=

3

x經(jīng)過(guò)圓心，
則截得弦長(zhǎng)為直徑長(zhǎng)6；
（2）將

x=1+ 3 2 t y=- 3 + 1 2 t

代入（x+1）²+（y+

3

）²=9，
得t2+2

3

t-5=0，
設(shè)方程的兩個(gè)根為t₁、t₂，則t₁t₂=-5，
所以|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|=5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為普通方程的方法，參數(shù)的幾何意義，以及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．