Question

1．已知直線l：y=3x+3，那么：
（1）直線l關(guān)于點(diǎn)M（3，2）的對(duì)稱的直線的方程為3x-y-17=0；
（2）l關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱的直線的方程為x-3y-1=0．

Answer 1

分析 （1）直線y=3x+3關(guān)于點(diǎn)M（3，2）對(duì)稱的直線l的方程，可以利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化方法解答，即設(shè)對(duì)稱的直線上的任意一點(diǎn)為（x，y），關(guān)于（3，2）的對(duì)稱點(diǎn)（6-x，4-y）在直線y=3x+3上，從而求對(duì)稱的直線方程；
（2）設(shè)P（x，y）為所求直線上的任意一點(diǎn)，則P關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱點(diǎn)P′（x′，y′）在直線y=3x+3，由對(duì)稱性可解得$\left\{\begin{array}{l}x′=-y-2\\ y′=-x-2\end{array}\right.$，代入變形可得答案．

解答 解：設(shè)所求直線上的任意點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）關(guān)于點(diǎn)M（3，2）對(duì)稱點(diǎn)（6-x、4-y），
因?yàn)閷?duì)稱點(diǎn)在已知直線上，
所以將y=3x+3中的x、y分別代以（6-x）、（4-y），得4-y=3（6-x）+3，
即3x-y-17=0．
（2）設(shè)P（x，y）為所求直線上的任意一點(diǎn)，
則P關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱點(diǎn)P′（x′，y′）在直線y=3x+3，
∴必有y′=3x′+3 （*）
由對(duì)稱性可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{x+x′}{2}+\frac{y+y′}{2}+2=0\\ \frac{y-y′}{x-x′}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x′=-y-2\\ y′=-x-2\end{array}\right.$，
代入（*）式可得（-x-2）=3（-y-2）+3
化簡(jiǎn)可得x-3y-1=0，
∴所求對(duì)稱直線的方程為：x-3y-1=0；
故答案為：3x-y-17=0，x-3y-1=0

點(diǎn)評(píng) 本題解答方法較多，可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到所求直線上，也可以按照求軌跡方程方法解答；還可以求一點(diǎn)和斜率來解．