Question

17．如圖（1）所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分別為線段PC、PD、BC的中點，現(xiàn)將△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（圖（2））．
（1）求證：AP∥平面EFG；
（2）若點Q是線段PB的中點，求證：PC⊥平面ADQ．

Answer 1

分析 （1）由條件可得EF∥CD∥AB，利用直線和平面平行的判定定理證得EF∥平面PAB．同理可證，EG∥平面PAB，可得平面EFG∥平面PAB．再利用兩個平面平行的性質(zhì)可得AP∥平面EFG．
（2）由條件可得DA、DP、DC互相垂直，故AD⊥平面PCD，AD⊥PC．再由EQ平行且等于$\frac{1}{2}$BC可得EQ平行且等于$\frac{1}{2}$AD，故ADEQ為梯形．再根據(jù)DE為等腰直角三角形PCD 斜邊上的中線，可得DE⊥PC．再利用直線和平面垂直的判定定理證得PC⊥平面ADQ．

解答 解：（1）證明：E、F、G分別為線段PC、PD、BC的中點，
可得EF∥CD∥AB．
由于AB?平面PAB，EF不在平面 PAB內(nèi)，故有 EF∥平面PAB．
同理可證，EG∥平面PAB．
由于EF、EG是平面EFG內(nèi)的兩條相交直線，
故有平面EFG∥平面PAB．
而PA?平面PAB，∴AP∥平面EFG．
（2）由條件可得，CD⊥AD，CD⊥PD，
而PD、AD是兩條相交直線，故CD⊥平面PAD，
∴∠PDA 為二面角PCD-CD-ABCD的平面角．
再由平面PCD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，故DA、DP、DC互相垂直，故AD⊥平面PCD，
而PC?平面PCD，故有AD⊥PC．
∵點Q是線段PB的中點，∴EQ平行且等于$\frac{1}{2}$BC，∴EQ平行且等于$\frac{1}{2}$AD，故四邊形ADEQ為梯形．
再由AD=DC=PD=2，可得DE為等腰直角三角形PCD 斜邊上的中線，∴DE⊥PC．
這樣，PC垂直于平面ADQ中的兩條相交直線AD、DE，∴PC⊥平面ADQ．

點評 本題主要考查直線和平面平行的判定定理、直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．