Question

如圖，函數(shù)g(x )=f(x)+

1

2

x3的圖象在點P處的切線方程是y=-

1

2

x-2，且f（x）也是可導(dǎo)函數(shù)，則f（-2）+f（-2）=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)圖象可知切點的橫坐標(biāo)為-2，把x=-2代入切線方程即可求出切點的縱坐標(biāo)，確定出切點坐標(biāo)，然后求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù)，把切點的橫坐標(biāo)-2代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線方程的斜率，又根據(jù)切線方程找出切線方程的斜率，兩者相等即可求出f′（-2）的值，把x=-2代入g（x）的解析式中即可求出f（-2）的值，求出f（-2）+f′（-2）即可．

解答：解：由圖象可知，把x=-2代入切線方程得y=-1，即切點坐標(biāo)為（-2，-1），
由g(x )=f(x)+

1

2

x3得：g′(x )=f′(x)+

3

2

x2，
把x=-2代入g（x）中得：f（-2）-4=-1，解得：f（-2）=3，
把x=-2代入導(dǎo)函數(shù)得：f′（-2）+6=-

1

2

，解得：f′（-2）=-

13

2

，
則f（-2）+f′（-2）=-

7

2

．
故答案為：-

7

2

點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．本題的突破點是由函數(shù)圖象找出切點的橫坐標(biāo)，代入切線方程求出縱坐標(biāo)確定出切點坐標(biāo)．