Question

已知曲線C的參數(shù)方程為

x=4t2 y=4t

（y為參數(shù)），過(guò)點(diǎn)A（2，1）作平行于θ=

π

4

的直線l 與曲線C分別交于B，C兩點(diǎn)（極坐標(biāo)系的極點(diǎn)、極軸分別與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)、x軸的正半軸重合）．
（Ⅰ）寫出曲線C的普通方程；
（Ⅱ）求B、C兩點(diǎn)間的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）由曲線C的參數(shù)方程為

x=4t2 y=4t

（y為參數(shù)），消去參數(shù)t即可得出普通方程．．
（Ⅱ）依題意，直線l的參數(shù)方程為

x=2+ 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t為參數(shù)），代入拋物線方程得 可得t2-2

2

t-14=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系與弦長(zhǎng)公式|BC|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由曲線C的參數(shù)方程為

x=4t2 y=4t

（y為參數(shù)），消去參數(shù)t得，y²=4x．
（Ⅱ）依題意，直線l的參數(shù)方程為

x=2+ 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t為參數(shù)），
代入拋物線方程得 可得t2-2

2

t-14=0，
∴t1+t2=2

2

，t₁t₂=14．
∴|BC|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

8+56

=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、參數(shù)的意義、弦長(zhǎng)公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．