Question

15．已知對于任意的a∈[-1，1]，函數(shù)f（x）=ax²+（2a-4）x+3-a＞0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 把已知函數(shù)看作是關于a的一次函數(shù)，然后把不等式恒成立轉化為關于x的不等式組求解．

解答 解：由f（x）=ax²+（2a-4）x+3-a=（x²+2x-1）a-4x+3，
得g（a）=（x²+2x-1）a-4x+3，
要使對于任意的a∈[-1，1]，函數(shù)f（x）=ax²+（2a-4）+3-a＞0恒成立，
即對于任意的a∈[-1，1]，函數(shù)g（a）=（x²+2x-1）a-4x+3＞0恒成立．
則$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（1）＞0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+6x-4＜0①}\\{{x}^{2}-2x+2＞0②}\end{array}\right.$．問答
解①得：$-3-\sqrt{13}＜x＜-3+\sqrt{13}$，
解②得：x∈R．
∴x的取值范圍是（$-3-\sqrt{13}，-3+\sqrt{13}$）．

點評 本題考查了恒成立問題，更換主元是解答該題的關鍵，考查了不等式組的解法，是中檔題．