Question

已知函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（1，3）．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）寫出函數(shù)f（x）在[a，a+1]上的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)f（x）在[a，a+1]上的值域．

Answer 1

解：（1）由已知=2a+1=3，得a=1；
（2）有（1）知a=1，所以函數(shù)，
在[1，2]上可設(shè)設(shè)1＜x₁＜x₂＜2，則
f（x₁）-f（x₂）=（）-（）
=（x₁-x₂）+（-）
=（x₁-x₂）•
因為0＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞0，
當1＜x₁＜x₂≤時，x₁•x₂-2＜0，所以＜0
所以：f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）在（1，]上是減函數(shù)．
當≤x₁＜x₂＜2時，x₁•x₂-2＞0，所以＞0
所以：f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在[，2）上是增函數(shù)．
因此函數(shù)f（x）在[a，a+1]即在[1，2]上的單調(diào)區(qū)間為：
減區(qū)間為，增區(qū)間為．
所以函數(shù)在[1，2]上的最小值為f（）=，
又因為f（1）=3，f（2）=3，所以函數(shù)的值域是．
分析：（1）只需要代入x=1即可得結(jié)果．
（2）首先要判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用單調(diào)性來解答函數(shù)治值域的問題，這是求函數(shù)值域的重要方法．利用定義求單調(diào)區(qū)間的時候，要注意x₁，x₂的任意性，本題中求單調(diào)區(qū)間需要分1≤x₁＜x₂≤和-≤x₁＜x₂≤2進行討論．
點評：本題考查函數(shù)的解析式，函數(shù)值的求法，函數(shù)單調(diào)性以及利用函數(shù)單調(diào)性解答函數(shù)值域和最值的知識．