Question

如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60，
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離的值；
（2）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）點(diǎn)A到面PBD的距離可以轉(zhuǎn)化成向量DA在面PBD的法向量量上的投影的長(zhǎng)度來(lái)求解；
（2）二面角A-PB-D的余弦值可以轉(zhuǎn)化成求平面PAB與平面PBD的法向量夾角的余弦值問(wèn)題來(lái)解決，求出兩個(gè)平面的法向量，用數(shù)量積公式求兩個(gè)向量夾角的余弦值，此余弦值與二面角的余弦值的關(guān)系是絕對(duì)值相等，從圖可以看出所求二面角的余弦值為正，故可求．
解答：解：由題意，連接AC，BD交于點(diǎn)O，由于四邊形ABCD是菱形可得AC，BD互相垂直，以O(shè)A、OB所在直線分別x軸，y軸，以過(guò)O且垂直平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，（2分）
（Ⅰ）設(shè)平面PDB的法向量為，
由，得，令，
所以點(diǎn)A到平面PDB的距離d==（5分）
（Ⅱ）設(shè)平面ABP的法向量，，
由，得，令
，∴，
∴=，而所求的二面角與互補(bǔ)，
所以二面角A-PB-D的余弦值為
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，本題把求點(diǎn)到面距離的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了求投影長(zhǎng)度的問(wèn)題，把求二面角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了求向量夾角的問(wèn)題，體現(xiàn)了化歸的思想，在立體幾何中求距離與求夾角的問(wèn)題常借助空間向量的知識(shí)來(lái)解決．用空間向量法求二面角的余弦值時(shí)，一定要注意法向量的方向，如此才能保證正確求出二面角的余弦值，若兩法向量的方向都指向二面角的內(nèi)部則法向量的余弦值就是二面角的余弦值，若全指向二面角的外部，此時(shí)二者亦相等，若一指向外部一指向內(nèi)部，則二者互為相反數(shù)，求解時(shí)要注意判斷二者的關(guān)系．