分析:(Ⅰ)推出b
n的表達(dá)式,分別當(dāng)n=1時(shí),求出a
2=-
;當(dāng)n=2時(shí),解出a
3=8;
(Ⅱ)設(shè)c
n=a
2n+1-a
2n-1,n∈N
*,利用等比數(shù)列的定義,證明{c
n}是等比數(shù)列;
(Ⅲ)求出S
2n,a
2n,S
2n-1,a
2n-1,求出
+
的表達(dá)式,然后求出
+
+…+
+
的表達(dá)式,利用放縮法證明結(jié)果.
解答:(Ⅰ)解:由b
n=
,(n∈N
*)可得b
n=
又b
n+1a
n+b
na
n+1=(-2)
n+1,
當(dāng)n=1時(shí),a
1+2a
2=-1,可得由a
1=2,a
2=-
;
當(dāng)n=2時(shí),2a
2+a
3=5可得a
3=8;
(Ⅱ)證明:對(duì)任意n∈N
*,a
2n-1+2a
2n=-2
2n-1+1…①
2a
2n+a
2n+1=2
2n+1…②
②-①,得a
2n+1-a
2n-1=3×2
2n-1,即:c
n=3×2
2n-1,于是
=4所以{c
n}是等比數(shù)列.
(Ⅲ)證明:
a1=2,由(Ⅱ)知,當(dāng)k∈N
*且k≥2時(shí),
a
2k-1=a
1+(a
3-a
1)+(a
5-a
3)+(a
7-a
5)+…+(a
2k-1-a
2k-3)
=2+3(2+2
3+2
5+…+2
2k-3)=2+3×
=2
2k-1,
故對(duì)任意的k∈N
*,a
2k-1=2
2k-1.
由①得2
2k-1+2a
2k=-2
2k-1+1,所以
a2k=-22k-1k∈N
*,
因此,
S2k=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2k-1+a2k) = 于是,
S2k-1=S2k-a2k=+22k-1.
故
+=+=
+=
1--所以,對(duì)任意的n∈N
*,
+
+…+
+
=(
+
)+…+(
+
)
=
(1--)+(1--)+…+(1--)=
n-(+)-(+)-…-(+)=n-
(++++…++)≤n-
-
=n-
(n∈N
*)
點(diǎn)評(píng):本題考查等比數(shù)列的定義,等比數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí),考查計(jì)算能力、推理論證能力、綜合發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的能力以及分類討論思想.