Question

已知點A（1，4），B（6，2），試問在直線x-3y+3=0上是否存在點C，使得三角形△ABC的面積等于14？若存在，求出C點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：求出AB的方程，AB的距離，設出C點的坐標，C在AB的垂線上，以及C到AB的距離和面積，求出C的坐標．

解答：解：AB=

(1-6)2+(4-2)2

=

29

，
直線AB的方程為

y-2

4-2

=

x-6

1-6

，
即2x+5y-22=0，
假設在直線x-3y+3=0上存在點C，
使得三角形ABC的面積等于14，
設C的坐標為（m，n），則一方面有m-3n+3=0①，
另一方面點C到直線AB的距離為d=

|2m+5n-22|

29

，
由于三角形ABC的面積等于14，
則

1

2

•AB•d=

1

2

•

29

•

|2m+5n-22|

29

=14，
|2m+5n-22|=28，
即2m+5n=50②或2m+5n=-6③．
聯立①②解得m=

135

11

，n=

56

11

；
聯立①③解得m=-3，n=0．
綜上，在直線x-3y+3=0上存在點C(

135

11

，

56

11

)或（-3，0），使得三角形ABC的面積等于14．

點評：本題考查點到直線的距離，考查計算能力，是基礎題．