【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的方程為y=3+
(1)寫出曲線C的一個(gè)參數(shù)方程;
(2)在曲線C上取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸,y軸的垂線,垂足分別為A,B,求矩形OAPB的周長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】
(1)解:曲線C的方程為y=3+

化簡(jiǎn)可得:(y﹣3)2=﹣x2+8x﹣15,(y≥3,3≤x≤5)

即:x2+y2﹣8x﹣6y+24=0,

可知圓心為(4,3),半徑r=1,

曲線C的一個(gè)參數(shù)方程為: (θ為參數(shù))


(2)解:由(1)可知曲線C圓心為(4,3),半徑r=1,(y≥3,3≤x≤5)的半圓.

設(shè)一點(diǎn)P的參數(shù)坐標(biāo)為(4+cosθ,3+sinθ)(0≤θ≤π),

過(guò)點(diǎn)P作x軸,y軸的垂線,垂足分別為A,B,

∴|PA|=3+sinθ,|PB|=4+cosθ

∴矩形OAPB的周長(zhǎng)l=2|PA|+2|PB|=2|3+sinθ+4+cosθ|=2[7+ sin( )],(0≤θ≤π)

當(dāng)θ= 時(shí),周長(zhǎng)l最大為14+2

當(dāng)θ=π時(shí),周長(zhǎng)l最小為12.

故得矩形OAPB的周長(zhǎng)的取值范圍是[12, ]


【解析】(1)采用平方法,化簡(jiǎn)曲線C,根據(jù)x=ρcosθ,y=ρsinθ即可得曲線C的一個(gè)參數(shù)方程;(2)由(1)可知曲線C,曲線C上取一點(diǎn)P的參數(shù)坐標(biāo),利用三角函數(shù)的有界限求解矩形OAPB的周長(zhǎng)的取值范圍

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