Question

解不等式：ax²-（a²-a-1）x-a+1≤0．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：當a=0時，不等式化為x+1≤0，解出即可；當a≠0時，ax²-（a²-a-1）x-a+1≤0化為
a(x-

-1

a

)[x-(a-1)]≤0．比較a-1與-

1

a

的大小，分類討論a＞0與a＜0兩種情況即可得出．

解答： 解：當a=0時，不等式化為x+1≤0，解得x≤-1，此時不等式的解集為{x|x≤-1}；
當a≠0時，ax²-（a²-a-1）x-a+1≤0化為（ax+1）[x-（a-1）]≤0．即a(x-

-1

a

)[x-(a-1)]≤0．
∵a-1-(-

1

a

)=

a2-a+1

a

=

(a- 1 2 )2+ 3 4

a

．
∴當a＞0時，a-1＞-

1

a

，不等式的解集為{x|-

1

a

≤x≤a-1}．
當a＜0時，a-1＜-

1

a

，不等式的解集為{x|x≥-

1

a

或x≤a-1}．
綜上可得：當a=0時，不等式的解集為{x|x≤-1}；
當a＞0時，不等式的解集為{x|-

1

a

≤x≤a-1}．
當a＜0時，不等式的解集為{x|x≥-

1

a

或x≤a-1}．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法、分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．