Question

在△ABC中，AB=3，∠A=60°，∠A的平分線AD交邊BC于點(diǎn)D，且

AD

=

2

3

AC

+λ

AB

（λ∈R），則AD的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，DF∥AC分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．由于

AE

AC

=

2

3

，可得

BD

BC

=

BF

BA

=

2

3

，可得AC，λ=

1

3

．即

AD

=

2

3

AC

+

1

3

AB

．再利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答： 解：如圖所示，
過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，DF∥AC分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．
∵

AE

AC

=

2

3

，∴

BD

BC

=

BF

BA

=

2

3

，
∴AF=

1

3

AB，

AB

AC

=

BD

DC

=

2

1

，
∴λ=

1

3

．
∴

AD

=

2

3

AC

+

1

3

AB

．
∵AB=3，可得AC=

3

2

．
∵∠A=60°，
∴

AC

•

AB

=

3

2

×3×cos60°=

9

4

．
∴

AD

2=

4

9

AC

2+

1

9

AB

2+

4

9

AB

•

AC

=3，
∴|

AD

|=

3

．
故答案為：

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的平行四邊形法則、三角形內(nèi)角平分線定理、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．