Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為平行四邊形，且AD=2，AB=AA₁=4，∠BAD=60°，E為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ） 證明：AC₁∥平面EB₁C；
（Ⅱ）求直線ED₁與平面EB₁C所成角．

Answer 1

解法一：（Ⅰ） 證明：連接BC₁，B₁C∩BC₁=F，連接EF，
因?yàn)锳E=EB，F(xiàn)B=FC₁，所以EF∥AC₁（2分
因?yàn)锳C₁?面EB₁C，EF?面EB₁C
所以AC₁∥面EB₁C（4分）
（Ⅱ）設(shè)AC₁與ED₁交于點(diǎn)G，連DE，
∵AC₁∥面EB₁C，∴G與C₁到平面EB₁C的距離相等，設(shè)為h，（6分）
則ED₁=，． （7分）
∴，點(diǎn)E到平面B₁CC₁距離為．
又∵，
∴．∴．（10分）
設(shè)ED₁與面EB₁C所成角為α，則．
所以ED₁與面EB₁C所成角為arcsin． （12分）
解法二：
作DH⊥AB，分別令DH，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸，如圖建立坐標(biāo)系┉（1分）
因?yàn)椤螧AD=60°，AD=2，所以AH=1，，
所以D₁（0，0，4），C（0，4，0），，C₁（0，4，4）（3分）
（Ⅰ），，（4分）
設(shè)面EB₁C的法向量為=（x，y，z），所以，
化簡得令y=1，則．（6分）
∵，AC₁?面EB₁C，∴AC₁∥面EB₁C．（8分）
（Ⅱ）設(shè)，則．（10分）
設(shè)直線ED₁與面EB₁C所成角為α，則cosθ=cos（α+90°）=-sinα．
即．（11分）
∴直線ED₁與面EB₁C所成的角的大小為arcsin． （12分）
分析：解法一：
（Ⅰ） 證明線面平行，即證AC₁平行于面EB₁C中的一條直線，即可；
（Ⅱ）設(shè)AC₁與ED₁交于點(diǎn)G，連DE，根據(jù)AC₁∥面EB₁C，可得G與C₁到平面EB₁C的距離相等，設(shè)為h，求出EG及h，即可求得ED₁與面EB₁C所成角；
解法二：
作DH⊥AB，分別令DH，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸，建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)
（Ⅰ）表示出，，（4分）
求出面EB₁C的法向量，證明，即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)，則，設(shè)直線ED₁與面EB₁C所成角為α，則cosθ=cos（α+90°）=-sinα，從而可求直線ED₁與面EB₁C所成的角的大�。�
點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查線面角，兩法并舉，傳統(tǒng)方法需要添加必要的輔助線，向量方法，用代數(shù)方法解決幾何問題，注意細(xì)細(xì)體會．