Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$asinωxcosωx+acos²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0，a＞0）的最大值為1，且其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為$\frac{π}{2}$，若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)為g（x），則（　�。�

• A． f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱，g（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
• B． f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{4}$，0）對(duì)稱，g（x）圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱
• C． f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對(duì)稱，g（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
• D． f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{5π}{12}$，0）對(duì)稱，g（x）圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對(duì)稱

Answer 1

分析 由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的最值以及它的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$asinωxcosωx+acos²ωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$asinωx+$\frac{a}{2}$cosωx+$\frac{a-1}{2}$
=asin（ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{a-1}{2}$，
由函數(shù)的最大值為a+$\frac{a-1}{2}$=1，可得 a=1，
再根據(jù)函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，求得ω=2，
故 f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)為g（x）=sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=sin2x，
當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$，不是最值，故f（x）的圖象不關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱，故排除A．
當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故f（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{4}$，0）對(duì)稱，故排除B．
當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）=1，是函數(shù)的最大值，故f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對(duì)稱，g（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
故C滿足條件．
當(dāng)x=$\frac{5π}{12}$時(shí)，f（x）=0，是函數(shù)的最大值，故f（x）的圖象關(guān)于（$\frac{5π}{12}$，0）對(duì)稱，但函數(shù)g（x）=sin2x的
圖象不關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對(duì)稱，故排除D，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換、利用了y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的最值以及它的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題．