Question

 設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n.

已知a₁＝1，d＝2，

①求當(dāng)n∈N^*時(shí)，的最小值；

②當(dāng)n∈N^*時(shí)，求證：＋＋…＋<；

 

 

Answer 1

【答案】

(1) 的最小值是16.

②證明：見解析。

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及數(shù)列求和的綜合運(yùn)用。

（1）根據(jù)已知條件，先得到通項(xiàng)公式，然后根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得到最值。

（2）并結(jié)合第一問中的結(jié)論，得通項(xiàng)公式可知裂項(xiàng)，然后再求解和。

(1)①∵a₁＝1，d＝2，

∴S_n＝na₁＋＝n²，

＝n＋≥2＝16，

當(dāng)且僅當(dāng)n＝，即n＝8時(shí)，上式取等號(hào)，

故的最小值是16.

②證明：由①知S_n＝n²，

當(dāng)n∈N^*時(shí)，，

＋＋…＋

＝＋＋…＋