Question

已知函數(shù)f （x）=是奇函數(shù)，且f （1）=2．
（1）求f （x） 的解析式；
（2）判斷函數(shù)f （x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）若x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁≠x₂．求證．

Answer 1

解：：（1）∵f （x）=為奇函數(shù)，且 f（1）==2
∴f（-1）==-f（1）=-2，解得：a=1，b=0．
∴f（x）=．
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（-∞，-1）上單調(diào)遞增
證明：∵函數(shù)的定義域為{x|x≠0}
在區(qū)間（0，+∞）上任取x₁，x₂，令0＜x₁＜x₂
∴f（x₁）-f（x₂）==
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，x₁x₂＞0，
①當1＜x₁＜x₂時，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．
②x₁＜x₂≤1時，x₁x₂-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)
根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知，函數(shù)在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（-∞，-1）上單調(diào)遞增
（3）∵x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁≠x₂．
∴=
===＜0
∴
分析：1）利用函數(shù)f （x）=為奇函數(shù)，且 f（1）=2，可得 f（-1）=-f（1）=-2，從而得到關(guān)于a、b的方程組，解之即可；
（2）直接利用單調(diào)性的定義即可證明；
（3）要證．利用作差法可證明
點評：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)應用，著重考查學生理解函數(shù)奇偶性與用定義證明單調(diào)性及解方程，及利用作差法證明不等式，屬于中檔題．