已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn和通項(xiàng)an滿足2Sn+an=1.?dāng)?shù)列{bn}中,b1=1,b2=
1
2
2
bn+1
=
1
bn
+
1
bn+2
(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{cn}滿足cn=
an
bn
,是否存在正整數(shù)k,使得n≥k時(shí)c1+c2+…+cn>Sn恒成立?若存在,求k的最小值;若不存在,試說(shuō)明理由.
分析:(1)由2Sn+an=1,得Sn=
1
2
(1-an)
.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=
1
2
(1-an)-
1
2
(1-an-1)=-
1
2
an+
1
2
an-1
,所以an=
1
3
×(
1
3
)n-1=(
1
3
)n
.由此能求出數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式.
(2)cn=
an
bn
=n(
1
3
)n
,設(shè)Tn=c1+c2+…+cn,則Tn=1×(
1
3
)1+2×(
1
3
)2+3×(
1
3
)4+…+n×(
1
3
)n
,再由錯(cuò)位相減能導(dǎo)出所求的正整數(shù)k存在,其最小值為2.
解答:解:(1)由2Sn+an=1,得Sn=
1
2
(1-an)

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=
1
2
(1-an)-
1
2
(1-an-1)=-
1
2
an+
1
2
an-1

2an=-an+an-1
an
an-1
=
1
3
(由題意可知an-1≠0).
∴{an}是公比為
1
3
的等比數(shù)列,
S1=a1=
1
2
(1-a1)

a1=
1
3
.∴an=
1
3
×(
1
3
)n-1=(
1
3
)n
.(3分)
2
bn+1
=
1
bn
+
1
bn+2
,
1
b1
=1,
1
b2
=2,d=
1
b2
-
1
b1
=1

1
bn
=n
,
bn=
1
n
.(6分)
(2)cn=
an
bn
=n(
1
3
)n
,
設(shè)Tn=c1+c2+…+cn,則Tn=1×(
1
3
)1+2×(
1
3
)2+3×(
1
3
)3••
•+n×(
1
3
)n
,①
1
3
Tn=1(
1
3
)2+2(
1
3
)3+…+n(
1
3
)n+1

(①-②)×
3
2
,化簡(jiǎn)得Tn=
3
4
-
3
4
×(
1
3
)n-
1
2
n×(
1
3
)n=
3
4
-
2n+3
4
1
3n
.(10分)
Sn=
1
3
(1-
1
3n
)
1-
1
3
=
1
2
-
1
3n
,(11分) 
 S1=T1=
1
3
,Tn,Sn
都隨n的增大而增大,
當(dāng)n≥2時(shí)Tn-Sn=
1
4
(1-
2n+1
3n
)>0
,
∴Tn>Sn,所以所求的正整數(shù)k存在,其最小值為2.(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強(qiáng),難度大,有一定的探索性,對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

19、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2(n∈N*),數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且滿足b1=a1,2b3=b4
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn(a、b∈R),且S25=100,則a12+a14等于( 。
A、16B、8C、4D、不確定

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+n+1,那么它的通項(xiàng)公式為an=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

13、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=3n+a,若{an}為等比數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的值為
-1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1=kSn+2,又a1=2,a2=1.
(1)求k的值及通項(xiàng)公式an
(2)求Sn

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案