Question

（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中且.設(shè).

（I）若，，，求方程在區(qū)間內(nèi)的解集；

（II）若點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的值域?yàn)榧��?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052311472856254482/SYS201205231151206875426766_ST.files/image017.png">，不等式的解集為集合. 若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；

（III）根據(jù)本題條件我們可以知道，函數(shù)的性質(zhì)取決于變量、和的值. 當(dāng)時(shí)，試寫(xiě)出一個(gè)條件，使得函數(shù)滿足“圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在處取得最小值”.【說(shuō)明：請(qǐng)寫(xiě)出你的分析過(guò)程.本小題將根據(jù)你對(duì)問(wèn)題探究的完整性和在研究過(guò)程中所體現(xiàn)的思維層次，給予不同的評(píng)分.】

 

Answer 1

【答案】

（I）在內(nèi)的解集為

（II）的最大值. 

（III）使得函數(shù)滿足“圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在處取得最小值”的充要條件是“當(dāng)時(shí)，（）或當(dāng)時(shí)，（）”.

【解析】解：（I）由題意，…………………………1分

當(dāng)，，時(shí)，，…2分

，則有或，.

即或，.                         ……………4分

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052311472856254482/SYS201205231151206875426766_DA.files/image025.png">，故在內(nèi)的解集為.……5分

（II）由題意，是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，故.    ……………6分

因此，，

     所以，的值域.   ……………8分

又的解為0和，故要使恒成立，只需

，而，

即，所以的最大值.              …………………10分

 

（III）解：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052311472856254482/SYS201205231151206875426766_DA.files/image037.png">，

設(shè)周期.

由于函數(shù)須滿足“圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在處取得最小值”.

因此，根據(jù)三角函數(shù)的圖像特征可知，

，.

又因?yàn)�，形�?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052311472856254482/SYS201205231151206875426766_DA.files/image042.png">的函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心都是的零點(diǎn)，故需滿足，而當(dāng)，時(shí)，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052311472856254482/SYS201205231151206875426766_DA.files/image045.png">，；所以當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；此時(shí)，，.

（i）當(dāng)時(shí)，，進(jìn)一步要使處取得最小值，則有，；又，則有，；因此，由可得，；

（ii）當(dāng)時(shí)，，進(jìn)一步要使處取得最小值，則有，；又，則有，；因此，由可得，；

綜上，使得函數(shù)滿足“圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在處取得最小值”的充要條件是“當(dāng)時(shí)，（）或當(dāng)時(shí)，（）”.               ……………………………………………………14分

（第III小題將根據(jù)學(xué)生對(duì)問(wèn)題探究的完整性和在研究過(guò)程中所體現(xiàn)的思維層次，給予不同的評(píng)分）