【題目】已知函數(shù),其中a為非零常數(shù).
討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由;
若,證明:在區(qū)間內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn);設(shè)為的極值點(diǎn),為的零點(diǎn)且,求證:.
【答案】(1)見解析;(2)(i)證明見解析;(ii)證明見解析.
【解析】
先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系,對(duì)a進(jìn)行分類討論即可求解函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可確定極值,
轉(zhuǎn)化為證明只有一個(gè)零點(diǎn),結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)可證;
由題意可得,,代入可得,,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可證.
解:解:由已知,的定義域?yàn)?/span>,
,
①當(dāng)時(shí),,從而,
所以在內(nèi)單調(diào)遞減,無極值點(diǎn);
②當(dāng)時(shí),令,
則由于在上單調(diào)遞減,,,
所以存在唯一的,使得,
所以當(dāng)時(shí),,即;當(dāng)時(shí),,即,
所以當(dāng)時(shí),在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)無極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn);
證明:由知.
令,由得,
所以在內(nèi)有唯一解,從而在內(nèi)有唯一解,
不妨設(shè)為,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以是的唯一極值點(diǎn).
令,則當(dāng)時(shí),,
故在內(nèi)單調(diào)遞減,
從而當(dāng)時(shí),,所以.
從而當(dāng)時(shí),,且
又因?yàn)?/span>,故在內(nèi)有唯一的零點(diǎn).
由題意,即,
從而,即.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),,又,
故,即,
兩邊取對(duì)數(shù),得,
于是,整理得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)面為正方形,側(cè)面為菱形,,平面平面.
(1)求直線與平面所成角的正弦值;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”:①;②.
(1)若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”,求公比;
(2)若一個(gè)等差數(shù)列既是階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)記階“期待數(shù)列” 的前項(xiàng)和為,求證;數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年11月18日國際射聯(lián)步手槍世界杯總決賽在莆田市綜合體育館開幕,這是國際射聯(lián)步手槍世界杯總決賽時(shí)隔10年再度走進(jìn)中國.為了增強(qiáng)趣味性,并實(shí)時(shí)播報(bào)現(xiàn)場(chǎng)賽況,我校現(xiàn)場(chǎng)小記者李明和播報(bào)小記者王華設(shè)計(jì)了一套播報(bào)轉(zhuǎn)碼法,發(fā)送方由明文→密文(加密),接受方由密文→明文(解密),已知加密的方法是:密碼把英文的明文(真實(shí)文)按字母分解,其中英文的的26個(gè)字母(不論大小寫)依次對(duì)應(yīng)1,2,3,…,26這26個(gè)自然數(shù)通過變換公式:,將明文轉(zhuǎn)換成密文,如,即變換成,即變換成.若按上述規(guī)定,若王華收到的密文是,那么原來的明文是( )
A.B.C.D.
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【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,當(dāng)輸入的的值為4時(shí),輸出的的值為2,則空白判斷框中的條件可能為( ).
A. B.
C. D.
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【題目】2018年1月26日,甘肅省人民政府辦公廳發(fā)布《甘肅省關(guān)于餐飲業(yè)質(zhì)量安全提升工程的實(shí)施意見》,衛(wèi)生部對(duì)16所大學(xué)食堂的“進(jìn)貨渠道合格性”和“食品安全”進(jìn)行量化評(píng)估.滿10分者為“安全食堂”,評(píng)分7分以下的為“待改革食堂”.評(píng)分在4分以下考慮為“取締食堂”,所有大學(xué)食堂的評(píng)分在7~10分之間,以下表格記錄了它們的評(píng)分情況:
(1)現(xiàn)從16所大學(xué)食堂中隨機(jī)抽取3個(gè),求至多有1個(gè)評(píng)分不低于9分的概率;
(2)以這16所大學(xué)食堂評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)估計(jì)大學(xué)食堂的經(jīng)營性質(zhì),若從全國的大學(xué)食堂任選3個(gè),記表示抽到評(píng)分不低于9分的食堂個(gè)數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞,若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑,兩點(diǎn)間的距離,現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn),,測(cè)得,,,,則,兩點(diǎn)的距離為___.
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【題目】一件剛出土的珍貴文物要在博物館大廳中央展出,需要設(shè)計(jì)各面是玻璃平面的無底正四棱柱將其罩住,罩內(nèi)充滿保護(hù)文物的無色氣體.已知文物近似于塔形,高1.8米,體積0.5立方米,其底部是直徑為0.9米的圓形,要求文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3米,文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2米,氣體每立方米1000元,則氣體費(fèi)用最少為( )元
A.4500B.4000C.2880D.2380
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電視臺(tái)舉行一個(gè)比賽類型的娛樂節(jié)目,A、B兩隊(duì)各有六名選手參賽,將他們首輪的比賽成績作為樣本數(shù)據(jù),繪制成莖葉圖如圖所示,為了增加節(jié)目的趣味性,主持人故意將A隊(duì)第六位選手的成績沒有給出,并且告知大家B隊(duì)的平均分比A隊(duì)的平均分多4分,同時(shí)規(guī)定如果某位選手的成績不少于21分,則獲得“晉級(jí)”.
(1)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),求出A隊(duì)第六位選手的成績;
(2)主持人從A隊(duì)所有選手成績中隨機(jī)抽取2個(gè),求至少有一個(gè)為“晉級(jí)”的概率;
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