Question

在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建坐標系，已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），已知過點P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為

x=-2+t y=-4+t

，直線l與曲線C分別交于M，N．
（1）寫出曲線C和直線l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

考點：直線的參數(shù)方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）利用極坐標化為直角坐標方程的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲線C的方程；消去參數(shù)t即可得到直線l的方程；
（2）把直線的方程代入拋物線的方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用兩點間的距離公式和等比數(shù)列的定義即可得出．

解答： 解：（1）由曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），可得ρ²sin²θ=2aρcosθ，化為y²=2ax．
由直線l的參數(shù)方程為

x=-2+t y=-4+t

，消去參數(shù)t可得直線l：y=x-2．
（2）聯(lián)立

y=x-2 y2=2ax

，
化為x²-（4+2a）x+4=0，
∵直線l與拋物線相交于兩點，
∴△=（4+2a）²-16＞0，解得a＞0或a＜-4．（*）
∴x₁+x₂=4+2a，x₁x₂=4．
∴|MN|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(4+2a)2-16]

=

8a2+32a

．
|PM|=

(x1+2)2+(y1+4)2

=

2

|x1+2|，|PN|=

2

|x2+2|．
∴|PM||PN|=2|（x₁+2）（x₂+2）|=2|x₁x₂+2（x₁+x₂）+4|
=2|16+4a|
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，
∴|MN|²=|PM||PN|，
∴(

8a2+32a

)2=2|16+4a|，
化為a（4+a）=|4+a|，
∵a＞0或a＜-4．
解得a=1．
∴a=1．

點評：本題考查了把極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、兩點間的距離公式和等比數(shù)列的定義等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．