【題目】設(shè)函數(shù),其中x>0,k為常數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)k≤0時,求的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)在區(qū)間(1,3)上存在兩個極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;

(3)證明:對任意給定的實(shí)數(shù)k,存在(),使得在區(qū)間(,)上單調(diào)遞增.

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞增區(qū)間為;(2);(3)證明見解析。

【解析】

(1)f′(x)=分別令f′(x)>0,f′(x)<0,解出x的取值范圍即可;

(2)函數(shù)f(x)在(1,3)內(nèi)存在兩個極值點(diǎn),有兩個實(shí)數(shù)根.化為,,因此內(nèi)存在兩個實(shí)數(shù)根.利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可;

(3),得,上單調(diào)遞增,進(jìn)而分析可得結(jié)果.

,

(1)當(dāng)時,對任意的都成立.

所以,當(dāng)時,;當(dāng)時,

所以,的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞增區(qū)間為.

(2)由函數(shù)在區(qū)間(1,3)上存在兩個極值點(diǎn),得在區(qū)間(1,3)上至少有兩個解,即在區(qū)間(1,3)至少有兩個解.

,則

所以,當(dāng)時,;當(dāng),,所以在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞增.又,

所以,,且,即.

此時,存在x1∈(1,2), x2∈(2,3)使得

且當(dāng)x∈(1,x1)時,,當(dāng)x∈(x1,x2)時,,當(dāng)x∈(x2,,3),,滿足條件.

所以k的取值范圍為

(3)令,得,當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,

所以,上單調(diào)遞增,

所以,當(dāng)時,,及,

當(dāng)時,.

設(shè)為3和中較大的數(shù),則當(dāng)時,,

所以對任意給定的實(shí)數(shù),存在,式得在區(qū)間上單調(diào)遞增.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】(本小題滿分12分)

如圖在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5AA1=4,點(diǎn)DAB

中點(diǎn).

(1) 求證: AC⊥BC1

(2) 求證:AC1平面CDB1

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(1)試將污水凈化管道的長度L表示為的函數(shù),并寫出定義域;

(2)當(dāng)取何值時,污水凈化效果最好?并求出此時管道的長度L.

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B.研究兩個變量相關(guān)關(guān)系時,相關(guān)指數(shù)R2越大,說明回歸方程擬合效果越好.

C.命題xR,cosx≤1”的否定命題為x0Rcosx01”

D.實(shí)數(shù)a,bab成立的一個充分不必要條件是a3b3

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(3)已知點(diǎn) ,直線是“共軛線對”,當(dāng)的斜率變化時,求原點(diǎn)O到直線的距離之積的取值范圍.

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