Question

如圖，A、B、C是球O的球面上三點(diǎn)，且OA、OB、OC兩兩垂直，P是球O的大圓上BC弧上的中點(diǎn)，則直線AP與OB所成角的弧度數(shù)是

π

3

．

Answer 1

分析：利用空間向量來(lái)求異面直線所成的角．建立空間直角坐標(biāo)系，把異面直線AP與OB所成角轉(zhuǎn)化為向量

AP

與

OB

所成角，再利用向量的夾角公式計(jì)算即可．

解答：解：∵OA、OB、OC兩兩垂直，
以O(shè)B所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OA所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)球半徑為1，則B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，1）P（

2

2

，

2

2

，0）
∴

AP

=（

2

2

，

2

2

，-1），

OB

=（1，0，0）
cos＜

AP

，

OB

＞=

AP •  OB

| AP || OB |

=

2 2

1 2 + 1 2 +1   1

=

1

2

∴向量

AP

與

OB

所成角為

π

3

，也即直線AP與OB所成角為

π

3

．
故答案為：

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用空間向量求異面直線所成角的大小，屬于空間向量的應(yīng)用．