Question

設向量a＝(2，sinθ)，b＝(1，cosθ)，θ為銳角（1）若a·b=,求sinθ+cosθ的值；（2）若a//b,求sin(2θ+)的值．

Answer 1

(1）   （2）

試題分析：(1）由已知及向量數量積的坐標運算可求得的值，從而應用平方關系就可求得(sinθ＋cosθ)²的值，再注意到θ為銳角，知sinθ＋cosθ＞０，開方即得所求式子的值；（2）由向量平行的坐標條件：可得的值，法一：由（萬能公式）得到的值，同理可得的值；再利用正弦和角公式將sin(2θ+)展開即可求得其值；法二：也可由的值，應用三角函數的定義求得的值，進而用倍角公式可求得和的值，下同法一．
試題解析：(1） 因為a·b＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝．
所以 (sinθ＋cosθ)²＝1＋2 sinθcosθ＝．
又因為θ為銳角，所以sinθ＋cosθ＝．
（2） 解法一 因為a∥b，所以tanθ＝2．
所以 sin2θ＝2 sinθcosθ­＝＝＝，
cos2θ＝cos²θ－sin²θ­＝＝＝－．
所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ＝×＋×(－)＝．
解法二 因為a∥b，所以tanθ＝2．所以 sinθ＝，cosθ＝．
因此 sin2θ＝2 sinθcosθ＝， cos2θ＝cos²θ－sin²θ­＝－．
所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ＝×＋×(－)＝．