Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x²+bx+a（a，b∈R），且其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象過原點．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的圖象在x=3處的切線方程；
（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析：求出f′（x），把（0，0）代入f′（x）求得b的值，把b的值代入f′（x）
（Ⅰ）把a(bǔ)等于1代入到導(dǎo)函數(shù)中求出導(dǎo)函數(shù)，把x=3代入導(dǎo)函數(shù)中得f′（3）即為函數(shù)在x=3處切線方程的斜率，把x=3代入f（x）中求出切點坐標(biāo)（3，f（3）），然后根據(jù)切點和斜率寫出切線方程即可；
（Ⅱ）把求得導(dǎo)函數(shù)代入到f′（x）=-9中，解出-a-1，根據(jù)x小于0，利用基本不等式即可求出a的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)a大于0時，令導(dǎo)函數(shù)為0求出x的值，利用x的值，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極大值和極小值，并根據(jù)a大于0判斷極大值和極小值的正負(fù)及f（-2）和f（

3

2

（a+1））的正負(fù)，即可得到函數(shù)零點的個數(shù)．

解答：解：f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+bx+a，f'（x）=x²-（a+1）x+b
由f'（0）=0得b=0，f'（x）=x（x-a-1）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f(x)=

1

3

x3-x2+1，f'（x）=x（x-2），f（3）=1，f'（3）=3
所以函數(shù)f（x）的圖象在x=3處的切線方程為y-1=3（x-3），即3x-y-8=0；
（Ⅱ）存在x＜0，使得f'（x）=x（x-a-1）=-9，-a-1=-x-

9

x

=(-x)+(-

9

x

)≥2

(-x)•(- 9 x

)=6，a≤-7，
當(dāng)且僅當(dāng)x=-3時，a=-7，所以a的最大值為-7；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時，x，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

f（x）的極大值f（0）=a＞0，
f（x）的極小值f(a+1)=a-

1

6

(a+1)3=-

1

6

[a3+3(a-

1

2

)2+

1

4

]＜0
又f(-2)=-a-

14

3

＜0，f(x)=

1

3

x2[x-

3

2

(a+1)]+a，f(

3

2

(a+1))=a＞0．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間(-2，0)，(0，a+1)，(a+1，

3

2

(a+1))內(nèi)各有一個零點，
故函數(shù)f（x）共有三個零點．

點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用基本不等式求函數(shù)的最值，會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)研究函數(shù)的單調(diào)性并根據(jù)函數(shù)的增減性求出函數(shù)的極值，根據(jù)極值的正負(fù)判斷函數(shù)零點的個數(shù)，是一道中檔題．