Question

15．設函數(shù)f（x）=|x-2|+|x-a|，x∈R．
（1）求證：當a=-8時，不等式lgf（x）≥1成立；
（2）若關于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）證明：當a=-8時，利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值為10，從而證得結論．
（2）利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值為|2-a|，可得|2-a|≥a，由此求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 （1）證明：當a=-8時，f（x）=|x-2|+|x+8|，x∈R，∴f（x）=|x-2|+|x+8|≥10，當且僅當-8≤x≤2時，取等號．
∴l(xiāng)gf（x）≥lg10=1，即 lgf（x）≥1成立．
（2）解：∵f（x）≥a，x∈R時恒成立，∴|x-2|+|x-a|≥a，x∈R時恒成立．
∵|x-2|+|x-a|≥|2-a|，x∈R，∴|2-a|≥a．求得a≤1．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式的應用，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．