Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且．
（I）求證：；
（II）求a_n及S_n；
（III）求證：．

Answer 1

解：（ I），（1），（2）（2分）
（2）-（1），得，∴．（3分）
（ II）當(dāng)n=1時(shí)，； （4分）
由（ I），得
即 （7分）
將代入，得．（8分）
（ III）由，則即證
下證：當(dāng)n≥4，n∈N^*時(shí)，2ⁿ≥n²．
①當(dāng)n=4時(shí)，2⁴=4²，成立；當(dāng)n=5時(shí)，2⁵＞5²，成立； （9分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥4，k∈N^*）時(shí)，成立，即2^k≥k²，則
當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+1≥2k²，令f（k）=2k²-（k+1）²=k²-2k-1，k≥4，k∈N^*，當(dāng)k=4時(shí)有最小值7，故2k²＞（k+1）²，
∴2^k+1≥（k+1）²，即n=k+1成立；
由①②得結(jié)論成立．（11分）
于是，．
令k=4，5，6，…，n，各式相加，得，
又，
兩式相加，得．（12分）
分析：分析：（Ⅰ）由S_n推出S_n+1的表達(dá)式，兩式相減后即得；
（ II）當(dāng)n=1時(shí)，；將代入，得；
（Ⅲ）由，則即證，下證：當(dāng)n≥4，n∈N^*時(shí)，2ⁿ≥n²．然后利用數(shù)學(xué)歸納法法證明結(jié)果．
點(diǎn)評：點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列求和，數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，考查計(jì)算能力、推理論證能力、綜合發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力以及分類討論思想．